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LeetCode 算法题 51. N-皇后

分类：algorithm| 发布时间：2016-10-15 14:14:00

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题目

n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

上图为 8 皇后问题的一种解法。

给定一个整数 n，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。

每一种解法包含一个明确的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。

示例:

输入: 4
输出: [
 [".Q..",  // 解法 1
  "...Q",
  "Q...",
  "..Q."],

 ["..Q.",  // 解法 2
  "Q...",
  "...Q",
  ".Q.."]
]
解释: 4 皇后问题存在两个不同的解法。

解法

使用回朔法可以解决这个问题。

class Solution {
public:
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        vector<vector<string>> ret;
        string row(n, '.');
        vector<string> board(n, row);
        solve(board, n, 0, ret);
        return ret;
    }

    void solve(vector<string> &board, int n, int x, vector<vector<string>> &ret) {
        if (x == n) {
            ret.push_back(board);
            return;
        }

        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if (isValid(board, n, x, i)) {
                board[x][i] = 'Q';
                solve(board, n, x + 1, ret);
                board[x][i] = '.';
            }
        }
    }

    bool isValid(vector<string> &board, int n, int x, int y) {
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if (i != x && board[i][y] == 'Q')
                return false;

            // back-diagonal
            int j = y - (x - i);
            if (j >= 0 && j < n && board[i][j] == 'Q')
                return false;

            // diagonal line
            j = y + (x - i);
            if (j >= 0 && j < n && board[i][j] == 'Q')
                return false;
        }

        return true;
    }
};

在判断一个位置是否合法时，需要判断这一列，45 度角线以及 135 度角线是否有另一个 Q。 可以通过 3 个辅助数组来简化判断。

/*    | | |                / / /             \ \ \
 *    O O O               O O O               O O O
 *    | | |              / / / /             \ \ \ \
 *    O O O               O O O               O O O
 *    | | |              / / / /             \ \ \ \
 *    O O O               O O O               O O O
 *    | | |              / / /                 \ \ \
 *   3 columns        5 45° diagonals     5 135° diagonals    (when n is 3)
 */
class Solution {
public:
    std::vector<std::vector<std::string> > solveNQueens(int n) {
        vector<vector<string> > res;
        vector<string> board(n, string(n, '.'));
        vector<int> flag_col(n, 1), flag_45(2 * n - 1, 1), flag_135(2 * n - 1, 1);
        solveNQueens(res, board, flag_col, flag_45, flag_135, 0, n);
        return res;
    }
private:
    void solveNQueens(vector<vector<string> > &res, vector<string> &board, vector<int> &flag_col, vector<int> &flag_45, vector<int> &flag_135, int row, int &n) {
        if (row == n) {
            res.push_back(board);
            return;
        }

        for (int col = 0; col != n; ++col)
            if (flag_col[col] && flag_45[row + col] && flag_135[n - 1 + col - row]) {
                flag_col[col] = flag_45[row + col] = flag_135[n - 1 + col - row] = 0;
                board[row][col] = 'Q';
                solveNQueens(res, board, flag_col, flag_45, flag_135, row + 1, n);
                board[row][col] = '.';
                flag_col[col] = flag_45[row + col] = flag_135[n - 1 + col - row] = 1;
            }
    }
};