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数据处理和表示

分类：data| 发布时间：2025-01-28 10:35:00

布尔代数

二进制值是计算机编码、存储和操作的核心。

布尔代数的常见运算有：

非

~
0	1
1	0

与

&	0	1
0	0	0
1	0	1

或

|	0	1
0	0	1
1	1	1

异或

^	0	1
0	0	1
1	1	0

布尔代数和整数环

整数运算和布尔代数之间有许多相似点，同时也有一些重要的不同之处。 特别地，整数集合，用 Z 来表示，形成了一个称为环的数据结构，表示为 <Z, +, ×, -, 0, 1>，其中加法称为求和运算，乘法为求积运算，减号作为加法的逆运算，而元素 0 和 1 作为加法和乘法的单位元。 布尔代数<{0,1}, |, &, ~, 0, 1> 有相似的属性。

共有属性

属性	整数环	布尔代数
交换性	a+b=b+a a×b=b×a	a|b=b|a a&b=b&a
结合性	(a+b)+c=a+(b+c) (a×b)×c=a×(b×c)	(a|b)|c=a|(b|c) (a&b)&c=a&(b&c)
分配性	a×(b+c)=a×b+a×c	a&(b|c)=(a&b)|(a&c)
同一性	a+0=a a×1=a	a|0=a a&1=a
消除性	a×0=0	a&0=0
相消性	-(-a)=a	~(~a)=a

环的特性

属性	整数环
相逆性	a+-a=0

布尔代数的特性

属性	布尔代数
分配性	a|(b&c)=(a|b)&(a|c)
相补性	a|~a=1 a&~a=0
幂等性	a&a=a a|a=a
吸收性	a|(a&b)=a a&(a|b)=a
DeMorgan定律	~(a&b)=~a|b (a|b)=~a&~b

模数运算

模数运算也构成一个环，对于模数 n，代数被表示为 <Z_n +_n, ×_n, -_n, 0, 1>，其中各部分定义如下：

符号	定义
Zn	{0,1,...,n-1}
a+nb	a+b mod n
a-nb	a-b mod n
-na	$$\{\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{0,\; a=0}}{\mathrm{n-a,\; a>0}}$$